假设检验
零假设和备择假设
假设检验的a问题
只有两种选择的假设检验问题
检验过程(test)
判断假设的实验过程
零假设和备择假设
$H_0$叫做零假设，$H_1$叫做备择假设。当实验结果是$\theta \in \Omega_0$时，我们not reject $H_0$; 当实验结果是$\theta \in \Omega_1$时，我们reject $H_0$
简单假设 混合假设
定义
如果$\Omega_i$包含多个值，那么$H_i$就是混合假设;如果$\Omega_i$只包含一个值，那么$H_i$就是简单假设
举例
- 一个简单空假设$H_0:\theta = \theta_0$
单边和双边假设
定义
- 单边假设
$$ H_0 \le \theta ，H_1 \gt \theta \\\ \\ H_0 \ge \theta ，H_1 \lt \theta $$
- 双边假设
$$ (一般，若零假设为简单假设)，即H_0 = \theta \\\ \\ 那么H_1 \neq \theta，为\pmb{双边假设} $$
批判性区域和检验统计
批判性区域
$$ 对于一个均值未知，方差已知的正态分布 \\\ \\ H_0 : \mu = \mu_0 ; H_1 : \mu \neq \mu_0 \\\ \\ c是一个很小的常数 \\\ \\ 当\overline {X_n}和\mu的差值超过c,我们就拒绝H_0\\\ \\ 即 S_0 = \lbrace x: |\overline{X_n} - \mu_0| \lt c\rbrace . \ S_1 = S_0^c \\\ \\ S_1 就叫做\pmb{批判性区域} $$
- 在大多数情况下，用统计量$T = r(\pmb X)$表示，叫做rejection region
检验统计和拒绝域
$$ 对于一个分布X, T = r(X)是统计量，R是实线 的子集\\\ \\ 假设一个检验过程有以下假设 \\\ \\ H_0: \theta \in \Omega_0 , H_1: \theta \in \Omega_1 \\\ \\ 若在T \in R时，我们\pmb{拒绝 H_0} \\\ \\ 那么T叫做\pmb{检验统计},R叫做\pmb{拒绝域} $$
幂函数和错误类型
幂函数
$$ \pi (\theta | \delta) 叫做测试\delta 的幂函数 \\\ \\ 并且 \pi (\theta | \delta) = Pr(X \in S_1 | \theta) , \theta \in \Omega \\\ \\ 或者 \pi (\theta | \delta) = Pr(T \in R| \theta) , \theta \in \Omega $$
两种错误类型
Type I 弃真
$H_0: \theta \in \Omega_0$是真的，但是我们reject $H_0$
Type II 纳伪
$H_0: \theta \in \Omega_0$是假的，但是我们not to reject $H_0$
显著性($\alpha$)水平
定义
显著水平，也称为α水平或显著性水平，是用于衡量在假设检验中拒绝原假设的临界值。通常情况下，显著水平的取值为0.05或0.01，代表了在一次实验中，我们允许犯错误的概率大小。
p-值
定义
一般的，p值是最小的显著性水平\alpha_0
计算
假设检验的步骤
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确定原假设和备择假设：原假设（null hypothesis）是我们想要检验的陈述，通常是指样本数据与总体相同。备择假设（alternative hypothesis）则是与原假设相反的假设，通常是指样本数据与总体不同。
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确定显著水平：显著水平（significance level）是判断是否拒绝原假设的临界值，通常设定为0.05或0.01。
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选择合适的假设检验方法：根据样本数据类型和实验设计等因素，选择合适的假设检验方法，如t检验、F检验、卡方检验等。
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计算统计量：根据假设检验方法的要求，计算相应的统计量，如t值、F值、卡方值等。
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确定拒绝域：拒绝域是指统计量达到或超过一定临界值时，我们会拒绝原假设的范围。
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计算p值：p值是指在原假设成立的情况下，出现观察值或更极端观察值的概率。通过计算p值，我们可以判断观察值是否落在了拒绝域内。
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做出结论：根据p值或统计量是否达到拒绝域，来判断是否拒绝原假设。如果拒绝原假设，则说明样本数据与总体存在显著差异；反之，则说明样本数据与总体相同。
几种检验
t检验
$$ 单样本t检验 \\\ \\ t = \frac{X-\mu}{\sigma / \sqrt{n}} \\\ \\ 双样本t检验 \\\ \\ 独立样本t检验 \\\ \\ t = \frac{X_1 -X_2}{\sqrt{\sigma^2_1/n_1 + \sigma_2^2/n_2}} \\\ \\ 配对样本t检验 \\\ \\ t = \frac{D}{\sigma_D/\sqrt n} \\\ \\ 其中,D为配对样本的差值,\sigma_D为D的标准差 $$