样本空间 随机事件
随机试验
- 可重复
- 结果的可能性已知
- 结果未知
样本空间
- 定义
随机试验E的所有结果构成的集合称为E的样本空间，记为$S={e}$
- 特征
-
exhaustive
- 必须包含所有的元素
-
mutually exclusive
- 不能有相同的元素
随机事件
- 定义
我们称样本空间$S$的子集$A$为$E$的随机事件$A$,简称事件$A$,当且仅当$A$所包含一个样本点发生，称事件$A$发生
- 特征
- A是相应的样本空间S的一个子集
- 当且仅当A的一个样本的出现A才发生
- 事件的分类
- 基本事件
- 由一个样本点组成的单点集
- 必然事件
- 每次试验S总是发生，则S被称为必然事件
- 不可能事件
- 空集$\Phi$为不可能事件
- 事件的关系与运算
$$ \pmb{包含关系}\\\ \\ A \subset B: A发生\Rightarrow B一定发生\\\ \\ \begin{cases} A\subset B\\ B\subset A \end{cases} \Rightarrow A = B\\\ \\ \pmb{积事件与和事件}\\\ \\ 和事件:\bigcup^n_{i=1}A_i: A_i中至少有一个发生\\\ \\ 积事件: \bigcap_{i=1}^nA_i:A_i同时发生\\\ \\ A\bigcap B可以简写成AB,以此类推\\\ \\ \pmb{互斥事件/互不相容 \ \ disjoint \ event \ or \ mutually \ exclusive}\\\ \\ 当AB=\phi时，A,B互斥\\\ \\ \pmb{逆事件/对立事件}\overline A\\\ \\ 记\overline A为A的逆事件,有\begin{cases} A\bigcup \overline A =S \\ A\overline A = \phi \end{cases}\\\ \\ 上述定理 的逆定理也成立\\\ \\ \pmb{差事件} \\\ \\ A\overline B = A - B \Leftrightarrow {x|x\in A ,x\notin B}\\\ \\ \pmb{补集} \\\ \\ A^C = {{s \in S|s \notin A}} $$
- 和、积关系式 —— 德摩根定律
$$ (A \bigcup B)^c = A^c \bigcap B^c \\\ \\ (A \bigcap B)^c = A^c \bigcup B^c \\\ \\ 推广 \\\ \\ \overline{\bigcap_{i=1}^n A_i}=\bigcup_{i=1}^n\overline {A_i}=\overline {A_1}\bigcup \overline {A_2}…\overline {A_n}\\\ \\ \overline{\bigcup_{i=1}^n A_i} = \bigcap_{i=1}^n \overline{A_i}= \overline{A_1} \ \overline{A_2}…\overline{A_n}\\\ \\ $$
- 其他公式
$$ P(A\overline B) = P(A)-P(AB) \\\ \\ A\bigcap \Big(B\bigcup C\Big) = AB\bigcup AC $$
频率与概率
频率
定义
$$ f_n(A)=\frac{n_A}{n} $$
- $n_A$为事件出现的次数
- n为试验的总次数
性质
-
$0\leq f_n(A)\leq 1$
-
$f_n(S) = 1$
-
若$A_1,A_2…A_n$两两互斥,则$f_n(\bigcup_{i=1}^k A_i) = \sum_{i=1}^kf_n(A_i)$
-
$f_n(A)$随n的增大稳定，稳定值记为p
概率
定义
-
非负, $P(A)\ge 0$
-
规范, $P(S)=1$
-
可列可加性
- 若$A_1,A_2…A_n$两两互斥(disjoint events),则$P(\bigcup_{i=1}^k A_i) = \sum_{i=1}^kP(A_i)$
性质
-
$P(\phi)=0$
-
若$A_1,A_2…A_n$两两互斥,则$P(\bigcup_{i=1}^k A_i) = \sum_{i=1}^kP(A_i)$
-
$P(A)=1-P(\overline A)$
-
概率的减法公式
$$ 若A\subset B，则P(B-A)=P(B)-P(A) \Rightarrow P(B) \gt P(A)\\\ \\ 一般情况下,P(B-A)= P(B)-P(AB) $$
- 概率的加法公式
$$ 对于两个事件A和B\\\ \\ P(A\bigcup B) =P(A)+P(B)-P(AB)\\\ \\ 对于三个事件A,B,C\\\ \\ P(A\bigcup B\bigcup C) = P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)\\\ \\ 一般情况\\\ \\ P(\bigcup_{i=1}^n A_i)=\sum_{i=1}^nP(A_i)-\underset{1\leq i\lt j\leq n}\sum P(A_iA_j)+…+(-1)^{n-1}P(A_1 A_2… A_n) $$
等可能概型(古典概型)
定义
满足 S中样本点有限,出现每一样本点的概率相同的试验被称为等可能概型
- 等可能性
- 有限性
组合数
$$ A_n^m = \frac{n!}{(n-k)!} $$
选择数
- 定义
$$ C_m^n = \tbinom{m}{n} =\frac{n!}{m!(n-m)!} $$
- 二项式系数
$$ (x + y)^n = \sum_{k=1}^n \tbinom{n}{k} x^ky^{n-k} $$
- 放回抽样总结
-
有序:$n^k$
-
无序:$C_{n+k-1}^k$
多项式系数
- 含义
从$n$个数中选$k$组，每一组的个数分别为$n_1,…,n_k$
- 公式
$$ \tbinom{n}{n_1,n_2,…,n_k} = \frac{n!}{n_1!…n_k!} \\\ \\ 其中: \sum_{i=0}^k n_i = n $$
条件概率
定义
$$ P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)} = \frac{N(AB)}{N(A)},P(A)\neq 0 $$
性质
$$ P(B|A)具有概率所具有的性质\\\ \\ 乘法公式\\\ \\ P(AB) = P(A)\cdot P(B|A)=P(B)\cdot P(A|B)\\\ \\ P(ABC) = P(A)P(B|A)P(C|AB)\\\ \\ P(A_1 A_2 …A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)…P(A_n|A_1A_2 … A_{n-1}) $$
全概率公式与Bayes公式
划分
- 不漏: $B_1\bigcup B_2…\bigcup B_n= S$
- 不重: $B_i B_j= \phi,i\neq j$
则称$B_1,B_2…B_n$为S的一个划分
全概率公式
$$ P(A)=\sum_{i=1}^nP(B_j)\cdot P(A|B_j) $$
Bayes公式
- 定义式
$$ P(B_i|A)=\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum_{j=1}^nP(B_j)\cdot P(A|B_j)}=\frac{P(AB_i)}{P(A)} $$
- 条件概率形式
$$ P(B_i|A\bigcap C) = \frac{P(B_i|C)\cdot P(A|B_i\bigcap C)}{\sum_{j=1}^n P(B_j|C)\cdot P(A|B_j\bigcap C)} $$
- Prior Probability 和 Posterior Probability
事件独立性与独立试验
两两独立
- 定义
若$P(AB)=P(A)P(B)$，则A与B相互独立
- 性质
- 性质1
$$ 对于独立事件A,B\\\ \\ P(A|B)=P(A),P(B|A)=P(B) $$
- 性质2
如果$A$和$B$相互独立，那么 $A$和$B^c$;$A^c$和$B^c$ 也相互独立
相互独立
- 定义
$$ 若P(A_1A_2…A_n) = P(A_1)P(A_2)…P(A_n) \\\ \\ 那么称A_1,A_2,…,A_n相互独立 $$
- 数量
$$ 若以上事件两两独立，则有C_n^2+C_n^3 + …+C_n^n \\\ \\ = (2^n -n - 1)个算式得到满足 $$
- 不相容 $\neq$ 独立
条件独立
- 定义
$$ 当P(A_1A_2…A_n|B) = P(A_1|B)P(A_2|B)…P(A_n|B)时 \\\ \\ 事件A_1,A_2,…,A_n对于B条件独立 $$
- 定理
$$ 若P(C|B) \ge 0 \\\ \\ 则当P(A|C\bigcap B) = P(A|B)时 \\\ \\ A与C关于B条件独立 $$
注意
- 两两独立不等于相互独立
- 实际问题可以根据事情情况检验独立性
- 在大量重复实验中，小概率事件必然发生