二元离散型随机变量
定义
设$X=X(e)$和$Y=Y(e)$是定义在$S$上的随机变量，由它们构成的向量$(X,Y)$叫做二元随机变量
联合概率分布
- 定义
若二元随机变量的取值有限，则称$(X,Y)$是离散型随机变量
- 概率分布律
$$ f(x,y) = P(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij},i,j=1,2… $$
- 性质
- $p_{ij}\ge 0$
- $\sum_{i=1}^\infin\sum_{j=1}^\infin p_{ij}=1$
边际分布
$$ P(Y=y_j)=P(X\le+\infin,Y=y_j)=\sum_{i=1}^\infin p_{ij}=p_{\cdot j},j=1,2…\\\ \\ P(X=x_i)= P(X=x_i,Y\le+\infin)=\sum_{j=1}^{+\infin}p_{ij}=p_{i\cdot},i=1,2… $$
条件分布
$$ P(X=x_i|Y=y_j)=\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}},i=1,2… $$
二元随机变量的分布函数
联合分布函数
- 定义
$$ F(x,y)=P(X\le x,Y\le y) $$
- 性质
-
$F(x,y)$关于$x,y$单调不减
-
$F(x,y)\le 1,F(+\infin,+\infin)=1$
-
$F(x,y)$关于$x,y$右连续
-
若$x_1\le x_2,y_1\le y_2$,$F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1)\ge0$
边缘分布函数
- 定义
二元随机变量$(X,Y)$中$X$和$Y$的分布函数$F_X(x),F_Y(y)$被称为边缘分布函数
$$ F_X(x)=F(x,+\infin)\\\ \\ F_Y(y)=F(+\infin,y) $$
条件分布函数
$$ F_{X|Y}(x|y)=P(X\le x|Y=y)=\frac{P(X\le x,Y=y)}{P(Y=y)} $$
二元连续型随机变量
(联合)概率密度函数
- 定义
- 若对于为二元随机变量$(X,Y)$,若存在$f(x,y)$ $$ F(x,y)=\int_{-\infin}^y\int_{-\infin}^xf(u,v)dudv $$
- 称$(X,Y)$为二元随机变量的联合概率密度函数
- 性质
-
$\int_{-\infin}^{\infin}\int_{-\infin}^{+\infin}f(x,y)dxdy=1$
-
对于$f(x,y)$上的连续点有
$$ f(x,y) = \frac{\partial^2 F(x,y)}{\partial x\partial y} $$
边缘概率密度函数
- 定义
$$ f_X(x)=\int_{-\infin}^{+\infin}f(x,y)dy\\\ \\ f_Y(y)=\int_{-\infin}^{+\infin}f(x,y)dx $$
- 边缘分布函数
$$ F_X(x)=\int_{-\infin}^xf_X(u)du \\\ \\ F_Y(y)=\int_{-\infin}^yf_Y(v)dv $$
条件概率密度函数
定义
$$ g_1(x|y) = \frac{f(x,y)}{f_2(y)} $$
性质
-
$g_1(x|y)=1$
-
$P(a\lt X\lt b|Y=y)=\int_a^bg_1(x,y)dx$
-
全概率公式
$$ f(x,y)=g_1(x|y)f(y)=g_2(y|x)f(x) $$
- 贝叶斯公式
$$ g_1(x|y) = \frac{g_2(y|x)f_1(x)}{f_2(y)} \\\ \\ g_2(y|x) = \frac{g_1(x|y)f_2(y)}{f_1(x)} $$
二元均匀分布
- 定义
$$ f(x,y)\begin{cases} \frac{1}{D的面积} & (x,y)\in D\\ 0 & otherwise\end{cases} $$
- 性质
- 二元均匀分布的条件分布仍为均匀分布
多元随机变量
c.d.f
$$ F(X_1,…,X_n) = Pr(X_1\le x_1, X_2\le x_2,…,X_n\le x_n) $$
条件分布
把$\pmb X = (X_1,…,X_n)$分成两个子向量$Y,Z$，使得$\pmb X = (Y,Z)$，其中$Y$有$k$个元素,$Z$有$n-k$个元素，那么有
$$ g_1(y|z) = \frac{f(y,z)}{f_2(z)} \ \ \ y \in \pmb R^k \\\ \\ g_2(z|y) = \frac{f(y,z)}{f_1(y)} \\\ \\ f_1(y) = \underset{n-k个}{\int_{-\infin}^{\infin} …\int_{-\infin}^{\infin}} g_2(y|z)f_2(z) dz $$
随机变量的独立性
定义
若对所有实数$x,y$，有$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$,称随机变量$X,Y$相互独立
分类
- 若为离散型随机变量
$$ X,Y相互独立\Leftrightarrow p_{ij}=p_i\cdot p_j对于一切i,j成立 $$
- 若为连续型随机变量
$$ X,Y相互独立\Leftrightarrow f(x,y)=f(x)f(y) $$
二元随机变量的函数的分布
$Z=X+Y$分布函数
- 推导
$$ F_Z(z)=P(Z\le z)=\underset{x+y\le z}\iint f(x,y)dxdy\\\ \\ = \int_{-\infin}^{+\infin}[\int_{-\infin}^{z-y} f(x,y)dx]dy \\\ \\ = \int_{-\infin}^{+\infin}[\int_{-\infin}^zf(u-y,y)du]dy \ (u=x+y) \\\ \\ = \int_{-\infin}^z[\int_{-\infin}^{+\infin}f(u-y,y)dy]du \\\ \\ 又根据定义有: F_Z(z)=\int_{-\infin}^z f_Z(u)du\\\ \\ \therefore f_Z(z)=\int_{-\infin}^{+\infin}f(z-y,y)dy \\\ \\ f_Z(z)=\int_{-\infin}^{+\infin}f(x,z-x)dx $$
- 注意，此处的积分范围要根据$\pmb z$的定义域范围划分
- 定义卷积公式
- 当$X$和$Y$独立时
$$ f_Z(z)=\int_{-\infin}^{+\infin}f_X(z-y)f_Y(y)dy=\int_{-\infin}^{+\infin}f_X(x)f_Y(z-x)dx $$