转移函数

定义

将电路方程从时域转为频域，获得一个关于$\omega$的方程

$$ H(\omega) = \frac{V_{out}}{V_{in}} $$

理想滤波器

定义

通过特定频率的信号，阻碍不需要的频率的信号

应用

RC电路-LPF

图示

推导

$$ H(\omega) = \frac{\frac{1}{j\omega C}}{\frac{1}{j\omega C}+R} = \frac{\frac{1}{RC}}{j\omega + \frac{1}{RC}} = \frac{\frac{1}{RC}}{\sqrt{\omega^2 + (\frac{1}{RC}})^2}e^{-jtan^{-1}(\omega RC)} \\\ \\ \therefore |H(\omega)| = \frac{\frac{1}{RC}}{\sqrt{\omega^2 + (\frac{1}{RC}})^2} \\\ \\ \angle H(\omega) = tan^{-1}(\omega RC) \\\ \\ 当\omega = \frac{1}{RC}时，|H(\omega)| = \frac{1}{\sqrt 2} ，Gain = 20lg(|H(\omega)|) = -3.01(dB) \\\ \\ 其中，\omega_0 = \frac{1}{RC}叫做3dB的截止频率 $$

结论

RC电路是LPF（低通滤波器）

CR电路-HPF

图示

推导

$$ 同理，H(\omega) = \frac{\omega}{\sqrt{\omega^2 + (\frac{1}{RC})^2}} e^{j\Big[\frac{\pi}{2} - tan^{-1}(\omega RC) \Big]} \\\ \\ |H(\omega)| = \frac{\omega}{\sqrt{\omega^2 + (\frac{1}{RC})^2}} \\\ \\ \angle H(\omega) =\frac{\pi}{2} - tan^{-1}(\omega RC) \\\ \\ 当\omega_0 = \frac{1}{RC}时，可以得出与RC电路相同的计算结果 $$

串联RLC-LPF

图示

推导

$$ H(\omega) = \frac{\frac{1}{LC}}{-\omega^2 + \frac{R}{L}j\omega + \frac{1}{LC}} \\\ \\ |H(\omega)| = \frac{\omega^2}{\sqrt{\Big(\frac{1}{LC} - \omega^2\Big)^2 } + \Big( \frac{R}{L}\omega\Big)^2} \\\ \\ \angle H(\omega) = \pi - tan^{-1}\Big(\frac{\frac{R}L{\omega}}{\frac{1}{LC}- \omega^2} \Big) \\\ \\ 转角频率 \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} $$

串联RCL-HPF

电路

相量

串联LCR-BPF

图示

推导

$$ H(\omega) = \frac{\frac{R}{L}j\omega}{-\omega^2 + \frac{R}{L}j\omega + \frac{1}{LC}} \\\ \\ |H(\omega)| = \frac{\frac{R}{L}\omega}{\sqrt{\Big(\frac{1}{LC} - \omega^2\Big)^2 + \Big( \frac{R}{L}\omega\Big)^2}} \\\ \\ \angle H(\omega) = \frac{\pi}{2} - tan^{-1}\Big(\frac{\frac{R}L{\omega}}{\frac{1}{LC}- \omega^2} \Big) \\\ \\ 转角频率 \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \\\ \\ 下截止频率 \ \omega_1 = -\frac{R}{2L} + \frac{R}{2L} \sqrt{1 + \frac{4L}{R^2C}} \\\ \\ 上截止频率 \ \omega_2 = \frac{R}{2L} + \frac{R}{2L} \sqrt{1 + \frac{4L}{R^2C}} \\\ \\ 3dB带宽 \omega_{3dB} =\omega_2 - \omega_1 =\frac{R}{L} $$

串联RCL-BSF

电路

相量

$$ |H(\omega)| = \frac{|V_o|}{|V_{in}|} = |\frac{sL+\frac{1}{sC}}{sL + \frac{1}{sC}+R}| \overset{除以L,乘以s}{=} \\\ \\ \Big|\frac{\frac{1}{LC}-\omega^2}{\frac{1}{LC}-\omega^2 + j\frac{\omega R}{L}}\Big| = \\\ \\ \frac{\frac{1}{LC}-\omega^2}{\sqrt{(\frac{1}{LC}-\omega^2)^2 + (\frac{\omega R}{L})^2 }} \\\ \\ \angle H(\omega) = tan^{-1}\Big( \frac{\frac{\omega R}{L}}{\frac{1}{LC}-\omega^2} \Big) $$

带宽

与LCR电路相同

并联RLC-LPF

电路

相量

并联RLC-HPF

电路

相量

并联RLC-BPF

电路

相量

并联RLC-BSF

并联RLC的带通和带阻滤波器的带宽都是$\frac{1}{RC}$

附录

转角频率($\omega_0$)

解方程$|H(\omega_0)|= 1$得到

截止频率

HPF和LPF的频率过滤临界点

通过解方程$|H(\omega)| = \frac{1}{\sqrt 2}$得到

判断滤波器类型

判断$\omega$的变化与输出阻抗占总阻抗的比例 的关系

当\omega与该比例正（负）相关时，为HPF(LPF)

当输出端同时有电容和电感时,一定为带通或带阻