转移函数
定义
将电路方程从时域转为频域,获得一个关于$\omega$的方程
$$ H(\omega) = \frac{V_{out}}{V_{in}} $$
相关概念
$$ |H(\omega)|被称为magnitude \ response,20lg(|H(\omega)|)叫做\pmb{Gain} \\\ \\ \angle H(\omega)被称为phase \ response $$
理想滤波器
定义
通过特定频率的信号,阻碍不需要的频率的信号
分类
-
LPF: Lowpass filter 低通滤波器
-
HPF: Highpass filter 高通滤波器
-
BPF: Bandpass filter 带通滤波器
-
BSF: Bandstop filter 带阻滤波器
-
Gain 图示
- abcd分别对应1234
应用
RC电路-LPF
图示
推导
$$ H(\omega) = \frac{\frac{1}{j\omega C}}{\frac{1}{j\omega C}+R} = \frac{\frac{1}{RC}}{j\omega + \frac{1}{RC}} = \frac{\frac{1}{RC}}{\sqrt{\omega^2 + (\frac{1}{RC}})^2}e^{-jtan^{-1}(\omega RC)} \\\ \\ \therefore |H(\omega)| = \frac{\frac{1}{RC}}{\sqrt{\omega^2 + (\frac{1}{RC}})^2} \\\ \\ \angle H(\omega) = tan^{-1}(\omega RC) \\\ \\ 当\omega = \frac{1}{RC}时,|H(\omega)| = \frac{1}{\sqrt 2} ,Gain = 20lg(|H(\omega)|) = -3.01(dB) \\\ \\ 其中,\omega_0 = \frac{1}{RC}叫做3dB的截止频率 $$
结论
- RC电路是LPF(低通滤波器)
CR电路-HPF
图示
推导
$$ 同理,H(\omega) = \frac{\omega}{\sqrt{\omega^2 + (\frac{1}{RC})^2}} e^{j\Big[\frac{\pi}{2} - tan^{-1}(\omega RC) \Big]} \\\ \\ |H(\omega)| = \frac{\omega}{\sqrt{\omega^2 + (\frac{1}{RC})^2}} \\\ \\ \angle H(\omega) =\frac{\pi}{2} - tan^{-1}(\omega RC) \\\ \\ 当\omega_0 = \frac{1}{RC}时,可以得出与RC电路相同的计算结果 $$
串联RLC-LPF
图示
推导
$$ H(\omega) = \frac{\frac{1}{LC}}{-\omega^2 + \frac{R}{L}j\omega + \frac{1}{LC}} \\\ \\ |H(\omega)| = \frac{\omega^2}{\sqrt{\Big(\frac{1}{LC} - \omega^2\Big)^2 } + \Big( \frac{R}{L}\omega\Big)^2} \\\ \\ \angle H(\omega) = \pi - tan^{-1}\Big(\frac{\frac{R}L{\omega}}{\frac{1}{LC}- \omega^2} \Big) \\\ \\ 转角频率 \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} $$
串联RCL-HPF
电路
相量
串联LCR-BPF
图示
推导
$$ H(\omega) = \frac{\frac{R}{L}j\omega}{-\omega^2 + \frac{R}{L}j\omega + \frac{1}{LC}} \\\ \\ |H(\omega)| = \frac{\frac{R}{L}\omega}{\sqrt{\Big(\frac{1}{LC} - \omega^2\Big)^2 + \Big( \frac{R}{L}\omega\Big)^2}} \\\ \\ \angle H(\omega) = \frac{\pi}{2} - tan^{-1}\Big(\frac{\frac{R}L{\omega}}{\frac{1}{LC}- \omega^2} \Big) \\\ \\ 转角频率 \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \\\ \\ 下截止频率 \ \omega_1 = -\frac{R}{2L} + \frac{R}{2L} \sqrt{1 + \frac{4L}{R^2C}} \\\ \\ 上截止频率 \ \omega_2 = \frac{R}{2L} + \frac{R}{2L} \sqrt{1 + \frac{4L}{R^2C}} \\\ \\ 3dB带宽 \omega_{3dB} =\omega_2 - \omega_1 =\frac{R}{L} $$
串联RCL-BSF
电路
相量
$$ |H(\omega)| = \frac{|V_o|}{|V_{in}|} = |\frac{sL+\frac{1}{sC}}{sL + \frac{1}{sC}+R}| \overset{除以L,乘以s}{=} \\\ \\ \Big|\frac{\frac{1}{LC}-\omega^2}{\frac{1}{LC}-\omega^2 + j\frac{\omega R}{L}}\Big| = \\\ \\ \frac{\frac{1}{LC}-\omega^2}{\sqrt{(\frac{1}{LC}-\omega^2)^2 + (\frac{\omega R}{L})^2 }} \\\ \\ \angle H(\omega) = tan^{-1}\Big( \frac{\frac{\omega R}{L}}{\frac{1}{LC}-\omega^2} \Big) $$
带宽
- 与LCR电路相同
并联RLC-LPF
电路
相量
$$
$$
并联RLC-HPF
电路
相量
$$
$$
并联RLC-BPF
电路
相量
$$
$$
并联RLC-BSF
- 并联RLC的带通和带阻滤波器的带宽都是$\frac{1}{RC}$
附录
转角频率($\omega_0$)
解方程$|H(\omega_0)|= 1$得到
截止频率
HPF和LPF的频率过滤临界点
- 通过解方程$|H(\omega)| = \frac{1}{\sqrt 2}$得到
判断滤波器类型
- 判断$\omega$的变化与输出阻抗占总阻抗的比例 的关系
- 当\omega与该比例正(负)相关时,为HPF(LPF)
- 当输出端同时有电容和电感时,一定为带通或带阻