Category By Conduction Angle

Class A PA

输出电流 & 集电极电压

$$ \begin{gather} \begin{aligned} v_{in} &= V_b + V_{in} \cos ( \omega t) \end{aligned} \end{gather} $$

• 在$V_b - V_p \ge V_{in}$时, 输出电流也有$\cos$特性

$$ \begin{gather} \begin{aligned} i &= I_q + I \cos ( \omega t) \\ \overline{ i } &= I_q \\ I_q &\ge I_c \end{aligned} \end{gather} $$

$$ \begin{gather} \begin{aligned} v &= V_{cc} - V \cos( \omega t) v &= V_{cc} - (i - I_q) R \\ \therefore i &= ( I_q + \frac{ V_{cc} }{ R }) - \frac{ v }{ R } \end{aligned} \end{gather} $$

效率

$$ \begin{gather} \begin{aligned} P_o &= I_q V_{cc} \\ P &= \frac{ 1 }{ 2 } IV \\ \eta &= \frac{ P }{ P_o } = \frac{ 1 }{ 2 } \frac{ I }{ I_q } \frac{ V }{ V_{cc} } \le 50% \end{aligned} \end{gather} $$

Class B, AB PA

电流和导通角

$$ \begin{gather} \begin{aligned} i &= \begin{cases} I_q + I \cos( \omega t) & - \theta \le \omega t < \theta \\ 0 & \theta \le \omega t < 2 \pi - \theta \end{cases} \\ \cos \theta &= - \frac{ I_q }{ I } \\ \therefore i &= I( \cos ( \omega t) - \cos \theta) \\ i_{max} &= I( 1 - \cos \theta) \end{aligned} \end{gather} $$

效率

1. 傅里叶分解

$$ \begin{gather} \begin{aligned} i &= I_0 + I_1 \cos( \omega t) + I_2 \cos( 2 \omega t) + … \\ I_0 &= \frac{ 1 }{ 2\pi } \int_{ - \theta }^{ \theta}I ( \cos ( \omega t) - \cos \theta) d ( \omega t) = I \gamma_{r0} \\ I_1 &= \frac{ 1 }{ 2\pi } \int_{ - \theta }^{ \theta}I ( \cos ( \omega t) - \cos \theta) \cos ( \omega t) d ( \omega t) = I \gamma_{r1} \\ \gamma_{r1} &= \frac{ 1 }{ \pi } ( \sin \theta - \theta \cos \theta) \\ \gamma_{r2} &= \frac{ 1 }{ \pi } ( \theta - \sin \theta \cos \theta) \end{aligned} \end{gather} $$

2. 效率

$$ \begin{gather} \begin{aligned} \eta &= \frac{ P_1 }{ P_o } = \frac{ 1 }{ 2 } \frac{ I_1 }{ I_0 } \frac{ V_c }{ V_{cc}} = \frac{ 1 }{ 2 } \frac{ \gamma_{r1} }{ \gamma_{r2} } \xi \\ \eta_{max} &= \frac{ \pi }{ 4 } \approx 78.5% (\xi = 1, \theta = \frac{ \pi }{ 2 }) \end{aligned} \end{gather} $$

3. 电流(基于基波调谐) & 放大倍数

$$ \begin{gather} \begin{aligned} i &= ( I_q + \frac{ V_{cc} }{ \gamma_{r2} R }) - \frac{ v }{ \gamma_{r2} R} \\ \tan \beta &= \frac{ 1 }{ V(1 - \cos \theta) } = \frac{ 1 }{ \gamma_{r2} R } \end{aligned} \end{gather} $$

Push-Pull PA

$$ \begin{gather} \begin{aligned} i_L( \theta) &= i_{c1}( \theta)- i_{c2}( \theta) = I_c \sin \theta \\ i_{cc} ( \theta) &= i_{c1} ( \theta) + i_{c2} ( \theta) = I_c |\sin ( \theta)| \\ v_L( \theta) &= i_c R_L \sin \theta = V_L \sin ( \theta) \\ I_0 &= \frac{ 1 }{ 2\pi } \int_{ 0 }^{ 2\pi } i_{cc} (\theta) d \theta = \frac{2}{\pi } I_c \end{aligned} \end{gather} $$

PA实际设计

PA设计指标

• Bode Fano 准则

• 一般Drive Stage使用小栅宽，大增益；Power Stage用大栅宽，大功率

馈电原则

描述

1. DC分量 流入 DC Source

2. AC分量 不流入 DC Source

方法

匹配网络设计

并联谐振回路型

利用变压器完成阻抗匹配

• $r$为电感的阻值

$$ \begin{gather} \begin{aligned} R_{e0} &= Z_0 Q_e \\ Z_0 &= \frac{ 1 }{ \omega_0 C } = \omega_0 L \\ \omega_0 &= \frac{ 1 }{ \sqrt{ LC }} \\ Q_e &= \frac{ 1 }{ \omega_0 C r } = \frac{ \omega_0 L }{ r } = \frac{ f_0 }{ BW } \end{aligned} \end{gather} $$

L, T, \pi 型匹配网络

1. 注意L, C 单位

• 对于毫米波，L是$pH$, C是$fF$

2. 晶体管

• 晶体管的各端口要和其他器件、电源等正确连接

• 晶体管Layout旋转后，端口激励要重新设置

• 一定要注意晶体管layout中走线之间的间隙不能太小

• 当一个端口有 多个In, Out 时，最好 不要走同一层

• 晶体管的 Layout要 绝对对称

• 晶体管接地不要增加不必要的走线长度

3. MOM电容
   1. 激励端口一定要放在 Edge处
   2. 端口两侧的走线要 对称
4. 微调顺序
   1. 晶体管 → 电路 → 电容 → 电感
5. 端口激励方法
   1. 一个Edge只能由一个端口激励
   2. 激励方向一定要对到Edge上
6. 电感
   1. 电感的走线长度对电感也有很大的影响!
   2. 电感放入整体版图后, 不要延长两端走线
7. 直流偏置
   1. VG使用隔直电阻效果非常不好
8. 其他
   1. 一定要在电路 开路 时测量器件的阻抗

LMBA PA

Impedance Analysis

S & Z Matrix

$$ \begin{gather} \begin{aligned} [S] &= - \frac{ 1 }{ \sqrt{ 2 } } \begin{bmatrix} 0 & j & 1 & 0 \\ j & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & j \\ 0 & 1 & j & 0 \end{bmatrix} \\ [Z] &= Z_0 [ U + S] [ U - S]^{-1} \\ \therefore [Z] &= Z_0 \begin{bmatrix} 0 & \sqrt{ 2 }j & 0 & j \\ \sqrt{ 2 } j & 0 & j & 0 \\ 0 & j & 0 & - \sqrt{ 2 } j \\ j & 0 & - \sqrt{ 2 } j & 0 \end{bmatrix} \end{aligned} \end{gather} $$

Active Load Modulated Schematic

欧姆定律

$$ \begin{gather} \begin{aligned} \begin{bmatrix} V_{b1} \\ V_C \\ V_0 \\ V_{b2} \end{bmatrix} &= [Z] \begin{bmatrix} I_{b1} \\ I_c \\ -I_0 \\ I_{b2} \end{bmatrix} \\ I_{b1} &= j I_{b2} \\ V_{b1} &= j V_{b2} \end{aligned} \end{gather} $$

电流关系, 控制电压, 输出电压

• 通过解以上方程

$$ \begin{gather} \begin{aligned} I_o &= j I_c - \sqrt{ 2 } I_{b1} \\ V_c &= Z_0 I_c \\ V_o &= j Z_0 (I_c - \sqrt{ 2 } I_{b2}) \end{aligned} \end{gather} $$

平衡放大器电压、电阻

• 假设 $I_{b1} = \alpha I_c e^{j \Delta \theta_c}$

$$ \begin{gather} \begin{aligned} V_{b1} &= j Z_0 ( - \sqrt{ 2 } I_c + I_{b2}) \\ Z_{b1} &= Z_0 (1 - \sqrt{ 2 } \frac{ e^{ j (\dfrac{ \pi }{ 2 } - \Delta \theta_c )} }{ \alpha }) \end{aligned} \end{gather} $$

功率 效率

1. 输出功率

$$ \begin{gather} \begin{aligned} P_c &= \frac{ 1 }{ 2 } \mathcal{Re} \Big\lbrace V_c I_c’ \Big\rbrace = \frac{ 1 }{ 2 } Z_0 I_c^2 \\ P_b &= 2 \frac{ 1 }{ 2 } \mathcal{Re} \Big\lbrace V_{b1} I_{b1}’ \Big\rbrace = Z_0 I_c^2 \Big[ \alpha^2 - \sqrt{ 2 } \alpha \cos ( \Delta \theta_c - \frac{ \pi }{ 2 }) \Big] \\ P_{out} &= P_c + P_b \end{aligned} \end{gather} $$

2. 直流功率 & 效率

$$ \begin{gather} \begin{aligned} P_{c,DC} &= \frac{ 2 }{ \pi } I_c V_{c, DC} \\ P_{b,DC} &= 2 V_{b1, DC} I_{b1, DC} \\ \eta_{LMBA} &= \frac{ P_c + P_b }{ P_{c,DC} + P_{b,DC} } \end{aligned} \end{gather} $$

LMBA 负载调制

两个阶段 & 电压、电流

1. 电流

$$ \begin{gather} \begin{aligned} I_c &= \begin{cases} I_{c, max} \dfrac{ V_{inc} }{ V_{inc, max} } & Low \ Power \\ I_{c, max} & High \ Power \end{cases} \\ I_{b1} &= \begin{cases} 0 & Low \ Power \\ \alpha e^{j \Delta \theta_c} I_{c,max} \dfrac{ V_{inb} }{ V_{inb, max} } & High \ Power \end{cases} \end{aligned} \end{gather} $$

2. 电压

$$ \begin{gather} \begin{aligned} V_c &= \begin{cases} Z_0 I_{c,max} \frac{ V_{inc} }{ V_{inc, max} } & Low \ Power \\ V_{b1} &= \begin{cases} -j \sqrt{ 2 } Z_0 I_{c,max} \frac{ V_{inc} }{ V_{inc, max} } & Low \ Power \\ Z_0 I_{c,max} ( \alpha e^{j \Delta \theta_c} \frac{ V_{inb} }{ V_{inb, max} } - j \sqrt{ 2 }) & High \ Power \end{cases} \end{cases} \end{aligned} \end{gather} $$

直流功率 输出功率 效率 回退/饱和功率

1. 直流功率

$$ \begin{gather} \begin{aligned} P_{DC} &= P_{c,DC} + 2P_{b1,DC} = \begin{cases} \frac{ 2 }{ \pi} Z_0 I_{c,max}^2 \dfrac{ V_{inc} }{ V_{inc, max} } & Low \ Power \\ \frac{ 2 }{ \pi } Z_0 I_{c,max}^2 [ 1 + 2 ( \alpha^2 + \sqrt{ 2 } \alpha) \dfrac{ V_{inb} }{ V_{inb, max} }] & High \ Power \end{cases} \end{aligned} \end{gather} $$

2. 输出功率

$$ \begin{gather} \begin{aligned} P_{out} &= \begin{cases} \dfrac{ 1 }{ 2 } Z_0 I_{c,max}^2 ( \dfrac{ V_{inc} }{ V_{inc, max} })^2 & Low \ Power \\ Z_0 I_{c,max}^2 [ \dfrac{ 1 }{ 2 } + \alpha^2 ( \dfrac{ V_{inb} }{ V_{inb, max} })^2 - \sqrt{ 2 } \alpha \cos( \dfrac{ \pi }{ 2 } - \Delta \theta_c) \dfrac{ V_{inb} }{ V_{inb, max} }] & High \ Power \end{cases} \end{aligned} \end{gather} $$

3. 效率

$$ \begin{gather} \begin{aligned} \eta_{LMBA} &= \begin{cases} \dfrac{ \pi }{ 4 } \dfrac{ V_{inc} }{ V_{inc, max} } & Low \ Power \\ \dfrac{ \pi }{ 4 } \dfrac{ 1 + 2 \alpha^2 ( \dfrac{ V_{inb} }{ V_{inb, max} })^2 - 2 \sqrt{ 2 } \alpha \cos( \dfrac{ \pi }{ 2 } - \Delta \theta_c) \dfrac{ V_{inb} }{ V_{inb, max} }}{ 1 + 2 ( \alpha^2 + \sqrt{ 2 } \alpha) \dfrac{ V_{inb} }{ V_{inb, max} } } & High \ Power \end{cases} \end{aligned} \end{gather} $$

4. 回退和饱和功率

$$ \begin{gather} \begin{aligned} P_{bo} &= \frac{ 1 }{ 2 } Z_0 I_{c,max}^2 & V_{inc} = V_{inc,max}, I_{inb} = 0 \\ P_{sat} &= \frac{ 1 }{ 2 } Z_0 I_{c,max}^2 ( 1 + \sqrt{ 2 } \alpha)^2 & V_{inc} = V_{inc, max}, V_{inb} = V_{inb,max}, \Delta \theta_c = \dfrac{ 3 \pi }{ 2 } \end{aligned} \end{gather} $$

5. 功率回退量

$$ \begin{gather} \begin{aligned} OBO &= \frac{ P_{sat} }{ P_{bo} } = (1 + \sqrt{ 2 } \alpha)^2 \end{aligned} \end{gather} $$

Doherty PA

有源基波负载调制

• 已知量: $I_{ci}, I_{pi}, Z_0, Z_L$

两个合成阻抗

$$ \begin{gather} \begin{aligned} V_{pi} &= Z_L I_L = Z_L (I_{cs} + I_{pi}) \\ Z_{cs} &= \frac{ V_{pi} }{ I_{cs} } = Z_L( 1 + \frac{ I_{pi} }{ I_{cs} }) \\ Z_{pi} &= Z_L ( 1+ \frac{ I_{cs} }{ I_{pi} }) \end{aligned} \end{gather} $$

特性

$$ \begin{gather} \begin{aligned} Z_0^2 &= Z_{ci} Z_{cs} = \frac{ V_{ci} }{ I_{ci} } \frac{ V_{pi} }{ I_{cs} } \\ V_{ci} I_{ci} &= V_{pi} I_{cs} \end{aligned} \end{gather} $$

峰值、载波、合成处 V I Z

1. 合成处

$$ \begin{gather} \begin{aligned} V_{pi} &= I_{ci} Z_0 \\ I_{cs} &= \frac{ Z_0 }{ Z_L } I_{ci} - I_{pi} \\ Z_{cs} &= \frac{ I_{ci} Z_0 Z_L }{ Z_0 I_{ci} - Z_L I_{pi} } \end{aligned} \end{gather} $$

2. 载波

$$ \begin{gather} \begin{aligned} V_{ci} &= Z_0 I_{ci} ( \frac{ Z_0 }{ Z_L } - \frac{ I_{pi} }{ I_{ci} }) \\ Z_{ci} &= Z_0 ( \frac{ Z_0 }{ Z_L } - \frac{ I_{pi} }{ I_{ci} }) \end{aligned} \end{gather} $$

3. 峰值路

$$ \begin{gather} \begin{aligned} Z_{pi} &= Z_0 \frac{ I_{ci} }{ I_{pi} } \end{aligned} \end{gather} $$

4. 总结

$$ \begin{gather} \begin{aligned} \begin{bmatrix} Carrier \\ Synthesis \\ Peak \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} V_{ci} = Z_0 I_{ci} ( \dfrac{ Z_0 }{ Z_L } - \dfrac{ I_{pi} }{ I_{ci} }) & I_{ci} & Z_{ci} = Z_0 ( \dfrac{ Z_0 }{ Z_L } - \dfrac{ I_{pi} }{ I_{ci} }) \\ V_{cs} = V_{pi} & I_{cs} = \dfrac{ Z_0 }{ Z_L } I_{ci} - I_{pi} & Z_{cs} = \dfrac{ I_{ci} Z_0 Z_L }{ Z_0 I_{ci} - Z_L I_{pi} } \\ V_{pi} = I_{ci} Z_0 & I_{pi} & Z_{pi} = Z_0 \dfrac{ I_{ci} }{ I_{pi} } \end{bmatrix} \end{aligned} \end{gather} $$

饱和、回退点

电压 电流 电阻

1. 假设 $I_{pi,max} = \delta I_{ci,max}, V_{pi,max} = \sigma V_{ci, max}$。传统Doherty $\delta = \sigma = 1$

• 功率回退点，功率饱和点

$$ \begin{gather} \begin{aligned} V_{in} &= \begin{cases} \dfrac{ 1 }{ 1 + \sigma \delta } V_{in,max} & Back \ Off \\ V_{in,max} & Saturation \end{cases} \end{aligned} \end{gather} $$

2. 电流

$$ \begin{gather} \begin{aligned} I_{ci} &= \frac{ I_{ci, max} }{ V_{in, max} } \\ I_{pi} &= \begin{cases} 0 & 0 \le V_{in} \le \dfrac{ 1 }{ 1 + \sigma \delta } V_{in,max} \\ \dfrac{ I_{ci,max} }{ V_{in,max} } \Big[ ( \delta + \dfrac{ 1 }{ \sigma }) V_{in} - \dfrac{ 1 }{ \delta } V_{in,max} \Big] & \dfrac{ 1 }{ 1 + \sigma \delta } V_{in,max} \le V_{in} \le V_{in,max} \end{cases} \end{aligned} \end{gather} $$

3. 电压

• 为了使得载波功放在回退点获得最大效率，应该有$Z_0 = ( \dfrac{ 1 }{ \sigma } + \delta) Z_L$

$$ \begin{gather} \begin{aligned} V_{ci} &= \begin{cases} ( \dfrac{ 1 }{ \sigma } + \delta ) Z_0 \dfrac{ I_{ci,max} }{ V_{in,max} } V_{in} & 0 \le V_{in} \le \dfrac{ 1 }{ 1 + \sigma \delta } V_{in,max} \\ Z_0 \dfrac{ I_{ci,max} }{ V_{in,max} } \dfrac{ 1 }{ \sigma } V_{in,max} & \dfrac{ 1 }{ 1 + \sigma \delta } V_{in,max} \le V_{in} \le V_{in,max} \end{cases} \\ V_{pi} &= Z_0 \dfrac{ I_{ci,max} }{ V_{in,max} } V_{in}, 0 \le V_{in} \le V_{in,max} \end{aligned} \end{gather} $$

4. 阻抗

$$ \begin{gather} \begin{aligned} Z_{ci} &= \begin{cases} ( \dfrac{ 1 }{ \sigma } + \delta ) Z_0 & 0 \le V_{in} \le \dfrac{ 1 }{ 1 + \sigma \delta } V_{in,max} \\ Z_0 \dfrac{ V_{in,max} }{ \sigma V_{in} } & \dfrac{ 1 }{ 1 + \sigma \delta } V_{in,max} \le V_{in} \le V_{in,max} \end{cases} \\ Z_{pi} &= \begin{cases} \infin & 0 \le V_{in} \le \dfrac{ 1 }{ 1 + \sigma \delta } V_{in,max} \\ Z_0 \dfrac{ V_{in} }{ \Big[ ( \delta + \dfrac{ 1 }{ \sigma }) C_{in} - \dfrac{ 1 }{ \sigma } V_{in,max} \Big] } & \dfrac{ 1 }{ 1 + \sigma \delta } V_{in,max} \le V_{in} \le V_{in,max} \end{cases} \end{aligned} \end{gather} $$

功率 效率

$$ \begin{gather} \begin{aligned} P_{out} &= \frac{ 1 }{ 2 } Z_0 ( \frac{ I_{ci,max} }{ V_{in,max} })^2 ( \frac{ 1 }{ \sigma } + \delta ) V_{in}^2 \end{aligned} \end{gather} $$

$$ \begin{gather} \begin{aligned} \eta_{DPA} &= \begin{cases} \dfrac{ \pi }{ 4 V_{in,max} } ( 1 + \sigma \delta ) V_{in} & 0 \le V_{in} \le \dfrac{ 1 }{ 1 + \sigma \delta } V_{in,max} \\ \dfrac{ \pi }{ 4 V_{in,max} } \dfrac{ (1 + \sigma \delta) V_{in}^2 }{ (2 + \sigma \delta) V_{in} - V_{in,max} } & \dfrac{ 1 }{ 1 + \delta \sigma } V_{in,max} \le V_{in} \le V_{in,max} \end{cases} \end{aligned} \end{gather} $$

• 回退量

$$ \begin{gather} \begin{aligned} OBO &= \frac{ P_{sat} }{ P_{bo} } = (1 + \delta \sigma)^2 \end{aligned} \end{gather} $$

Appendix

典型的放大器的电流 电压 系数

$$ \begin{gather} \begin{aligned} \gamma_{r0} &= \frac{ 1 }{ \pi } ( \sin \theta - \theta \cos \theta) \\ \gamma_{r1} &= \frac{ 1 }{ \pi } ( \theta - \sin \theta \cos \theta) \end{aligned} \end{gather} $$