基本逻辑系统表达
三种基本运算
| AND | $\cdot$ |
|---|---|
| OR | $+$ |
| NOR | $'$ |
对偶定律 反演定律
- 定义
等号两边同时对偶，等式依然成立
- 对偶的法则
-
与变或，或变与
-
真变假，假变真
-
遵循原函数的运算先后顺序
-
不属于单个变量上的取“非”符号应保留不变
- 取反和对偶的区别
-
取反对一切取反
-
对偶只对0,1取反，而不对变量取反
-
例如
$$ 已知Y=A’B’+C’DE’+0 \\\ \\ 取反式为Y’= (A+B) \cdot (C+D’+E)\cdot 1 \\\ \\ 对偶式为YD= (A’+B’)\cdot (C’+D+E’)\cdot 1 $$
导出的逻辑运算
| NAND(与非) | $F = (A \cdot B)'$ |
|---|---|
| NOR | $F = (A +B)'$ |
| AND-OR INVERT | $F =(A\cdot B + C \cdot D)'$ |
| XOR | $F = A \textcircled + B = AB’ + AB'$ |
| NXOR | $F = A\textcircled \cdot B = (A \textcircled + B)’ = A’B’ + AB$ |
逻辑符号
逻辑代数的公理和定理
二变量和三变量定理
满足交换律,结合律
分配律 (Distributivity)
$$ A \cdot (B +C ) = A\cdot B + A \cdot C \\\ \\ A + B \cdot C = (A+B) \cdot (A +C) $$
合并律(Combining)
$$ A\cdot B + A\cdot B’ =A \\\ \\ (A+B)\cdot (A+B’) = A $$
吸收率(Covering)
$$ A + A\cdot B = A \\\ \\ A\cdot(A+B) = A \\\ \\ A + A’\cdot B = A+B \\\ \\ A \cdot (A’ + B) =A\cdot B $$
一致性定律 (Consensus)
$$ A\cdot B + A’ \cdot C + B\cdot C = A\cdot B + A’ \cdot C $$
n变量定理
广义同一律
$$ A + A + .. + A = A \\\ \\ A\cdot A \cdot \cdot \cdot A = A $$
德摩根定律
$$ (A_1\cdot \cdot \cdot A_n)’ =A_1’ + … + A_n’ \\\ \\ (A_1 + .. + A_n)’ = A_1’\cdot\cdot\cdot A_n’ \\\ \\ 用数学归纳法证明 $$
- 德摩根定律得到的等效电路符号
最小项(Minterm)与最大项(Maxterm)
要求
- 必须包含每一个变量
性质
-
最小项取反是逆的最大项: $m_i’ = M_i$
-
$m_i^D = M_j, i + j = 2^n - 1$ (n为变量数)
卡诺图
画法
-
圈要大 $\gt$ 圈要少 $\gt$ 圈要整齐
-
圈的大小必须是$2^n$
-
卡诺图是全闭合的
-
先圈自主蕴涵项
写法
| 圈0 | 圈1 |
|---|---|
| 和之积 | 积之和 |
| 0是真，1是假 | 1是真，0是假 |
奇异单元
- 包含奇异单元的主蕴涵项叫做自主蕴涵项
缺点
-
只适用于不超过6个变量的情况
-
不一定能求得最化简的解
常见卡诺图
例题
$$ Z_1 = AB + B’D’ + A’CD,求 \\\ \\ \begin{aligned} &(1) NAND - NAND \ \ 与非-与非 \\ &(2) NOR - NOR \ \ 或非-或非 \\ &(3) AOI \ \ 与或非 \\\ \\ 解: (1) Z_1 &= ((Z_1)’)’ \\ &= [(AB)’(B’D’)’(A’CD)’]’ \\ (2) 先求Z_1’ &= A’C’D + AB’D + A’BD’ \\ Z_1 &= \Big[[(A’+B+D’)(A+C+D’)(A+B’+D)]’\Big]’ \\ &= [(A’ +B + D)’ +(A + C + D’)’ + (A + B + D)’]’ \\ (3)Z_1 &= (AB’D + A’C’D + A’BD’)' \end{aligned} $$