麦克斯韦电磁理论
位移电流
理清四个概念
Category | Concept |
---|---|
电场强度 | $E$ |
电位移矢量(电感应强度) | $\pmb D=\varepsilon_0 \pmb E+\pmb P, C/m^2$ |
磁感应强度 | $\pmb B$ |
磁场强度 | $\pmb H = \dfrac{ \pmb B }{ \mu_0 }$ |
库仑定律+场强叠加定律 可以得到
- 电场的高斯定律
$$ \begin{gather} \begin{aligned} \oiint\pmb D\cdot d\pmb S=q_0 \end{aligned} \end{gather} $$
- 静电场的环路定律
$$ \begin{gather} \begin{aligned} \oint\pmb E\cdot d\pmb l=0 \end{aligned} \end{gather} $$
Bio-Sarurt定律 可以得到
- 磁场的高斯定律
$$ \begin{gather} \begin{aligned} \oiint \pmb B\cdot d\pmb S=0 \end{aligned} \end{gather} $$
- 安培环路定律
$$ \begin{gather} \begin{aligned} \oint \pmb H\cdot d\pmb l=I_0 \end{aligned} \end{gather} $$
磁法拉第电磁感应定律 (磁场变化的规律)
$$ \begin{gather} \begin{aligned} \xi =-\frac{\partial \Phi_B}{\partial t} \end{aligned} \end{gather} $$
位移电流的推导
$$ \\ \oint \pmb H \cdot d\pmb l = I_0=\oiint \pmb j_0\cdot d\pmb S=-\frac{dq_0}{dt}\\\ \\ \because \oiint \pmb D\cdot d\pmb S=q_0\Rightarrow \frac{dq_0}{dt}=\oiint \frac{\partial \pmb D}{\partial t}d\pmb S,代入上式\\\ \\ \oiint (\pmb j_0+\frac{\partial \pmb D}{\partial t})d\pmb S=0\Rightarrow \pmb j_0+\frac{\partial \pmb D}{\partial t}是个连续量\\\ \\ 其中,\frac{\partial \pmb \Phi_0}{\partial t}=\iint \frac{\partial \pmb D}{\partial t}\cdot d\pmb S叫做\pmb{位移电流}\\\ \\ \frac{\partial \pmb D}{\partial t}叫做\pmb{位移电流密度}\\\ \\ I_0=\iint \pmb j_0\cdot d\pmb S叫做\pmb{全电流}\\\ \\ 故\oint \pmb H\cdot d\pmb l = I_0 + \frac{\partial \pmb \Phi_D}{\partial t } $$
Category | Concept |
---|---|
位移电流 | 电场变化产生的 |
传导电流 | 电荷在导体中移动产生的 |
麦克斯韦方程组
积分形式
$$ \begin{gather} \begin{aligned} \oiint \pmb D\cdot d\pmb S &= q_0 \\ \oint \pmb E\cdot d\pmb l &= -\iint\frac{\partial \pmb B}{\partial t }\cdot d\pmb S \\ \oiint \pmb B\cdot d\pmb S &= 0 \\ \oint \pmb H\cdot d\pmb l &= I_0+\iint\frac{\partial \pmb D}{\partial t}d\pmb S \end{aligned} \end{gather} $$
-
穿过一个闭合曲面的唯一电流加一块就是电荷量
-
电场转一圈 = 磁通量变化率
-
磁场线闭合,穿完平面又回来了,所以为0
-
磁场转一圈产生电流和 …
微分形式
$$ \begin{gather} \begin{aligned} \nabla \cdot \pmb D &= \rho_0 \\ \nabla\times\pmb E &= -\frac{d\pmb B}{dt} \\ \nabla \cdot \pmb B &= 0 \\ \nabla \times \pmb H &= \pmb j_0+\frac{\partial \pmb D}{\partial t} \end{aligned} \end{gather} $$
最基本形式
$$ \begin{gather} \begin{aligned} \nabla\cdot \pmb E &= \frac{\rho_0}{\varepsilon_0} \\ \nabla\times\pmb E &= -\frac{d\pmb B}{dt} \\ \nabla \cdot \pmb B &= 0 \\ \nabla\times \pmb B &= \varepsilon_0\mu_0\frac{\partial \pmb E}{\partial t } +\mu_0\pmb j_0 \end{aligned} \end{gather} $$
边界条件(暂定)
电磁波理论
平面电磁波的解
自由空间的麦克斯韦方程
$$ \nabla\cdot \pmb D=0 \\\ \\ \nabla\times \pmb E=-\mu_0\frac{\partial \pmb H}{\partial t}\\\ \\ \nabla\cdot \pmb H=0\\\ \\ \nabla\times\pmb H=\varepsilon_0\frac{\partial \pmb E}{\partial t} $$
- 电磁场中的位置关系
$$ \pmb E\perp\pmb B\perp 传播方向\pmb k\\\ \\ $$
平面电磁波的性质
-
电磁波是横波
-
$\pmb E$和$\pmb B$同相位
-
$\pmb{E\times N}$与传播方向始终同向
-
$\pmb E$和$\pmb B$的幅值成比例
$$ \varepsilon_0^2E_0=\mu_0^2H_0^2 = B_0^2 $$
- 电磁波的速率$v=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}=c$