普朗克量子假设与光电效应
黑体
定义
黑体吸收一切照射其上的辐射
黑体辐射
黑体产生的辐射即为黑体辐射
Wien 定理 – – 仅在短波长时有效
- 光谱峰值处的波长$\lambda_p$ 与温度T的关系
$$ \lambda_p T = 2.90 \times 10^{-3} m\cdot K $$
不同温度下的黑体光谱
普朗克的工作
- 前提
- Wien公式和Rayleigh等人的公式在波长较大时失效
- 一定温度下光强与波长的公式 —— 普朗克辐射公式
$$ I(\lambda,T) = \frac{2\pi {h}c^2\lambda^{-5}}{e^{hc/\lambda k T}-1} \\\ \\ {h} = 6.626\times 10^{-34} \ J\cdot s \\\ \\ k \ \ Boltzman 常数 \\\ \\ T 在此处为给定的\pmb{常数} $$
- 普朗克量子假设
- 能量是不连续的
$$ E = n{h}f, n=1,2,3,… $$
光电效应
图示
公式
$$ E_{k_{max}} = {h}f -W_0 \\\ \\ E_{k_{max}} = eV_0, f = \frac{c}{\lambda} $$
解释
- 最大初动能$E_{kmax}$
- 光子和电子相撞,碰撞类型不同,损失的能量不同
康普顿效应 - 光子撞电子
光子动量
- 一般物质的动量为
$$ p = \gamma mv = \frac{mv}{\sqrt{1-v^2/c^2}} $$
- 光子的动量
由于光子的速度$v=c$,而其动量不可能为无穷,故其质量$m=0$
$$ E = mc^2 \longrightarrow E^2 = m^2 c^4 = p^2c^2 \\\ \\ \therefore \pmb{p =\frac{E}{c}} \\\ \\ p = \frac{{h}f}{c} = \frac{h}{\lambda} \\\ $$
康普顿效应与光子
2.2.1 实验图
2.2.2 推导
$$ 已知: 撞前,电子静止,光子波长为\lambda; \\\ \\ 撞后,电子速率为v,光子波长为\lambda’ \\\ \\ 根据能量守恒有: \\\ \\ \begin{align} \frac{{h}c}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda’} + (\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}-1)m_e \end{align} \\\ \\ 根据动量守恒有: \\\ \\ \begin{align} \frac{m_ev}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\cdot sin\theta = \frac{hc}{\lambda’}\cdot sin\phi \\ \frac{m_ev}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\cdot cos\theta + \frac{hc}{\lambda’}\cdot cos\phi = \frac{hc}{\lambda} \end{align} \\\ \\ 根据上述三式: \\\ \\ \lambda’ =\lambda + \frac{{h}}{m_ec}(1-cos\phi) \\\ \\ \Delta E = h \nu - h\nu ’ = h\nu(1-cos\theta) \\\ \\ \pmb{Compton \ S{h}ift} \\\ \\ \Delta\lambda = \lambda’ - \lambda = \frac{{h}}{m_ec}(1-cos\phi) \\\ \\ \pmb{自由电子的康普顿波长} \\\ \\ \lambda_C = \frac{{h}}{m_ec} = 2.43\times 10^{-3}nm = 2.43pm $$
2.2.3 光子与原子的碰撞
-
撞击原子核 或 核外电子。失去能量,频率降低(康普顿效应)
-
撞击自由电子后消失,光电子逸出(光电效应)
-
撞击核外电子后消失,电子能量增加(激发态)
-
撞击后消失,产生电子和正电子(Pair Production)
- 这种情况下,正负电子对的动能为
$$ K = hf - 2mc^2 $$
2.2.4 光电效应与康普顿效应
光电效应是当光照在金属中时,金属里的自由电子由于变化的电场的作用而振动.若光振幅足够大,电子会飞出金属表面.于是金属就带了电.这个实验其实证明了光的波动性,即证明了光是一种电磁波.
康普顿效应是让光波射入石墨,企图让石墨中的电子对光进行散射,光子和电子碰撞时将一部分能量转移给电子.这样,光的能量减小,波长增加.而且如果将光子当作实物粒子的话,计算结果与实验结果符合.这便证明了光子也具有动量.即证明了光的粒子性.通常只发生在频率很高的电磁波当中
波粒二象性 互补原则
互补原理 —— 波尔
理解一个物理实验,必须使用波理论或者光理论,而不是同时使用两种理论
波粒二象性
光同时具有粒子和波的属性
$$ E(\pmb{粒子}的能量) = {h}f(\pmb{波}的频率) $$
物质的波属性
- 德布罗意波
$$ 对于光,\because p = \frac{{h}}{\lambda} \\\ \\ 因此,\lambda = \frac{{h}}{p} $$
- 解释
- 波的属性,例如干涉与衍射,只有在物体较小时才比较显著
早期原子模型
图示
氢原子光谱
4.2.1 黑体辐射产生原因是
由原子和分子振动产生的
4.2.2 吸收光谱
- 定义
连续光谱穿过稀有气体,产生的光谱中会有黑线,波长与稀有气体释放的相同,这叫吸收光谱
- 结论
稀有气体吸收和释放的光的频率是相同的
4.2.3 Balmer公式
- 适用范围
- 表示氢原子的发射(的光电子的)波长
$$ \frac{1}{\lambda} =R(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{n^2}),n=3,4,5,… \\\ \\ Redberg常数 \ \ \ \pmb{R = 1.0974\times 10^7 m^{-1}} \\\ \\ 365nm \le \lambda \le 656nm $$
Balmer公式的延伸与图示
- Lyman Series
$$ \frac{1}{\lambda} =R(\frac{1}{1^2}-\frac{1}{n^2}),n=3,4,5,… \\\ \\ 91nm \le\lambda \le 122nm \\\ $$
- Paschen series
$$ \\ \frac{1}{\lambda} =R(\frac{1}{3^2}-\frac{1}{n^2}),n=3,4,5,… \\\ \\ 820nm\le \lambda \le 1280nm $$
- 氢原子能级图
波尔模型
能级与跃迁
- 向低能级跃迁释放光子
$$ {h}f =E_u - E_l $$
波尔量子化条件
- 条件
$$ 假设电子角动量 \ L = n \frac{{h}}{2\pi} \ \ \ \ n: 轨道的量子数 \\\ \\ 又 L =mvr_n \\\ \\ \therefore v = \frac{nh}{2\pi m r_n} (1) $$
- 波尔提出这个纯纯是因为它符合Balmer 公式,合着是瞎猜,一个一个试出来的
- 验证
- 图示
- 证明
$$ 根据牛顿第二定律 \\\ \\ F = ma \\\ \\ \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{(Ze)(e)}{r^2_n} = m \frac{v^2}{r_n} \\\ \\ \therefore r_n = \frac{Ze^2}{4\pi \varepsilon_0 mv^2} \\\ \\ 又根据(1)式, v = \frac{nh}{2\pi r_n m} \\\ \\ \therefore \pmb{r_n = \frac{\varepsilon_0 n^2 h^2}{Ze^2 \pi m}} \\\ \\ \pmb {r_n = \frac{n^2}{Z} r_1} \\\ \\ 波尔半径 \ r_1 = \frac{\varepsilon_0 h^2}{\pi m e^2} = 0.529 \times 10^{-10}(m) = 0.0529(nm) $$
能级
- 能级推导
$$ 核外电子的电势能U = - eV \\\ \\ U = -\frac{Ze^2}{4\pi \varepsilon_0 r_n} \\\ \\ 核外电子的总能量 E_n = E_k + E_p = \frac{1}{2}mv^2 -\frac{Ze^2}{4\pi \varepsilon_0 r_n} \\\ \\ 在波尔量子化条件下,v = \frac{n h}{2\pi m r_n } , r_n = \frac{\varepsilon_0 n^2 \hbar^2}{Ze^2 \pi m}\\\ \\ \therefore \pmb{E_n = -(\frac{Z^2e^4m}{8\varepsilon_0^2 h^2})(\frac{1}{n^2})} \\\ \\ \therefore \pmb{E_n = \frac{Z^2}{n^2}E_1} \\\ \\ 其中,E_1 = \frac{me^4}{8\varepsilon_0^2h^2} =-13.6eV $$
- 关于能级解释
- 其他概念
- 电离能/结合能:使核外电子从基态到脱离(自由到基态)原子核的最小能量
- 能级与波长
$$ \frac{1}{\lambda} = \frac{f}{c} = \frac{hf}{hc} = \frac{1}{hc}(E_n - E_{n’}) \\\ \\ \lambda = \frac{hc}{E_n - E_{n’}} \\\ \\ 其中 \pmb{hc = 1.24 \times 10^3(eV\cdot nm)} \\\ \\ 换E \\\ \\ \frac{1}{\lambda} = \frac{Z^2e^4m}{8\varepsilon_0^2h^3 c}\Big(\frac{1}{n’^2}- \frac{1}{n^2}\Big) \\\ \\ 由此可以得到: R = \frac{me^4}{8\varepsilon_0 h^3 c} $$
德布罗意原子假设
对波尔量子化条件的证明(回顾驻波知识)
$$ 德布罗意波长 \lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv} (v较小时) \\\ \\ 2\pi r_n =n \lambda = n\frac{h}{mv},n = 1,2,3, …\\\ \\ $$
波尔模型的局限性
-
只适用于氢原子和单电子离子
-
量子力学最终解释了这一切