伽利略-牛顿相对论
- 传统思维
狭义相对论与洛伦兹变换
狭义相对论的基本原理
光速不变原理
光速是绝对的，它相对于任何物体的速度都是不变的
狭义相对论原理
物理规律在一切惯性参考系中都是等价的
六大公式
钟慢效应(时间)
- 图示
- 推导
$$ 对于车外的人来说, \Delta t = \frac{2\sqrt{d^2 + (\frac{1}{2}v\Delta t)^2}}{c} \\\ \\ 对于车内的人来说：\Delta t’ = \frac{2d}{c} \\\ \\ 根据以上两式可得：\Delta t = \frac{\Delta t’ }{\sqrt{1-v^2/c^2}} \\\ $$
尺短效应(长度)
- 图示
- 推导
$$ 对于车外的人来说: \\\ \\ \Delta t = \frac{l}{c-v}+\frac{l}{c+v} \\\ \\ 对于车内的人来说 \\\ \\ \Delta t’ = \frac{2l_0}{c} \\\ \\ 由以上两式可知: L = \sqrt{1-v^2/c^2} \cdot L_0 $$
洛伦兹变换(速度)
$$ \begin{cases} x = \gamma (x’+vt’) \\ y =y’ \\ z = z’ \\ t = \gamma (t’ + vx’/c^2)\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}dx =\gamma(dx’ + vdt’)\\ dy = dy’ \\ dz = dz’ \\ dt = \gamma(dt’ + vdx’/c^2) \end{cases} \\\ \\ 我们可以得出: \frac{dx}{dt} = \frac{dx’+vdt’}{dt’+vdx’/c^2} = \frac{\frac{dx’}{dt’}+v}{1+\frac{v}{c^2}\frac{dx’}{dt’}} \\\ \\ 其中 u =\frac{du}{dt}，u’ =\frac{dx’}{dt’} \\\ \\ \therefore u_x = \frac{u_x’+ v}{1+u_x’v/c^2} \\\ \\ 其中，v是坐标系S’相对于坐标系S的移动速度 \\\ \\ u和u’分别是两个坐标系中移动物体的速度 $$
相对论系数
- 第一个图示
$$ 如上图，黑色坐标系为一在原地不动的人，蓝色坐标系为一前进的火车 \\\ \\ 对于静止不动的人来说，在t=0时刻，一光束从火车上反射到石头处(蓝色竖杠) \\\ \\ 在t=t时刻，光束到达石头，火车前进了vt \\\ \\ 此时，人离石头距离x = ct $$
- 第二个图示
$$ 对于火车来说，在t=t时刻,石头离它的距离x’=ct’ \\\ \\ 由于两个时空因为引力产生的度量不同 \\\ \\ \therefore\begin{cases} x = \gamma(x’+vt’) \\ x’ = \gamma(x-vt)\end{cases} \\\ \\ 又\begin{cases} x = ct \\ x’= ct’ \end{cases} \\\ \\ \Rightarrow \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{c^2}{v^2}}} $$
质量
$$ 在一次动量守恒的碰撞中，从撞击者和被撞击者的角度分别来看\\\ \\ mv = (m+m_0)u [1] \\\ \\ -mv = (m+ m_0)u’ [2] \\\ \\ u =\frac{u’+v}{1+u’v/c^2} [3] \\\ \\ 根据以上三式可得出： m=\frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \\\ \\ 此时，牛顿方程\pmb F = \frac{d\pmb p}{dt} = \frac{d(m\pmb v)}{dt} = m\frac{d\pmb v}{dt} + \pmb v\frac{dm}{dt} \pmb{不再成立} $$
质能与动量
$$ E_k = \int_0^v \pmb F\cdot d\pmb r = \int_0^v\frac{d(m\pmb v)}{dt}\cdot d\pmb r = \int_0^r \pmb v \cdot d(m\pmb v) \\\ \\ \because \pmb v\cdot d(m\pmb v) = v^2 dm +m\pmb v \cdot d\pmb v \\\ \\ 并且，m=\frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \Rightarrow dm = \frac{mvdv}{c^2-v^2} \\\ \\ \pmb{质能方程：E_k = \int_{m_0}^mc^2dm= mc^2-m_0c^2} \\\ \\ 动能方程是质能方程的特殊情况 \\\ \\ E_k = mc^2 - m_0c^2 = m_0c^2(\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}-1) 泰勒公式展开 \\\ \\ = \frac{1}{2}m_0v^2 + \frac{3}{8}m_0 \frac{v^4}{c^3} + … $$
相对论公式总结
六大方面: 质量、长度、速度、时间、能量、动量
$$ m = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}m_0 \\\ \\ L = \sqrt{1-v^2/c^2} L_0 \\\ \\ u = \frac{u’+v}{1+u’v/c^2} \\\ \\ t = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}t_0 \\\ \\ \pmb p = m\pmb v = \frac{m_0\pmb v}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = \frac{\sqrt{K^2 + 2Kmc^2}}{c} \\\ \\ E = \Delta mc^2 $$