波运动的特点
Category | Concept |
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波源 | 来自振动 |
振幅 $A$ | 波峰的高度 |
波长 $\lambda$ | 波峰之间的距离 |
周期 | $T$ |
频率 | $f = \frac{1}{T}$ |
波的速度$v$ | 波峰移动的速度$v = \lambda f$ |
波的类型
横波
定义
振动方向与运动方向垂直的波
横波的移动速度
- 决定因素
- 介质
- 在细绳上横波的速度
- 图示
- 推导
$$ SHM \Longrightarrow F \propto x \\\ \\ \therefore \frac{F_y}{F_T} = \frac{v’t}{vt} = \frac{v’}{v} \\\ \\ F_y t = \Delta p = \Delta m\cdot v \\\ \\ F_T t \cdot \frac{v’}{v} = F_y t = (\mu vt)v’ \\\ \\ \therefore \pmb{v = \sqrt{\frac{F_T}{\mu}}} $$
纵波
定义
振动方向与运动方向相同的波
纵波的特点
-
在纵波中,压缩和扩张对应着横波中的波峰和波谷
-
常见的纵波
- 声波
纵波速度
$$ v = \sqrt{\frac{elastic \ force \ factor}{inertia \ factor}} \\\ \\ 在长绳中, v= \sqrt{\frac{E}{\rho}},弹性系数 \\\ \\ 在流体中,v = \sqrt{\frac{B}{\rho}},体积系数 $$
其他的波
表面波
- 定义
在两种物质的交界处的波
- 实例
-
水面波
-
地震的表面波
波的能量 波的运动方程
运动方程
$$ y(x,t) = Acos(\omega t \pm \frac{\omega}{v}x + \varphi) \\\ \\ \omega = \frac{2\pi}{T} \\\ \\ Wave \ number \ k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\omega}{v} \\\ \\ 表示\pmb{相位随距离的变化率}或\pmb{2\pi 长度内的全波数目} \\\ $$
波的能量与强度
- 波的运动是能量的传播
$$ 对于 SHM \\\ \\ dm = \rho S dx \\\ \\ dE = \frac{1}{2} dm \omega^2 A^2 \\\ \\ \therefore dE = \frac{1}{2}\rho S dx \omega^2A^2 \\\ \\ \overline{P} = \frac{dE}{dt} = \frac{1}{2} \rho S v \omega^2 A^2 \\\ \\ I = \frac{\overline{P}}{S} = \frac{1}{2}\rho v\omega^2 A^2 $$
叠加原理 反射和传播
干涉
光电干涉结果
- 幅度与光强
$$ 幅度: A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 +2A_1A_2cos\Delta \varphi} \\\ \\ \Delta \varphi = k\Delta r = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta r \\\ \\ I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}cos{\Delta \varphi} $$
- 亮与暗
$$ \Delta \varphi = 2m\pi \Longrightarrow \Delta r = m \lambda \Longrightarrow I_{max} \\\ \\ \Delta \varphi = (2m + 1) \pi \Longrightarrow \Delta r = (m + \frac{1}{2}) \lambda \Longrightarrow I_{min} $$
干涉的类型
双缝干涉
- 条件
- 单色光照到两个缝上
- 杨氏双缝干涉实验
- 图示
- 公式
$$ \Delta r = r_2 - r_1 \approx dsin\theta \\\ \\ 亮纹: dsin\theta = m \lambda \\\ \\ 暗纹:dsin\theta = (m+\frac{1}{2}) \lambda \\\ \\ 又sin\theta \approx tan\theta = \frac{x}{L} \\\ \\ \therefore 亮纹:x = \frac{L}{d} \cdot m\lambda \\\ \\ 暗纹:x = \frac{L}{d}(m+\frac{1}{2}) \lambda \\\ \\ 当\theta \rightarrow 0 时: \theta \approx sin\theta \\\ \\ \therefore \Delta \theta_{max} = \frac{\lambda}{d} $$
Thin films —— 反射与干涉
- 条件:光从两个表面反射
光程差(OPD)
$$ \delta = n_1r_1 - n_2r_2 \\\ \\ \Delta = 2n_2 t(+\frac{\lambda}{2}) = \begin{cases} m\lambda & bright \\ (m+\frac{1}{2})\lambda & dark \end{cases} $$
驻波 共鸣
衍射与偏振
单缝衍射
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图示
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光程差
$$ \delta = \overline{BP} - \overline{AP} = \overline{BC} = asin\theta $$
- 半波法
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将缝以半波长等分
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两个光程差为$\frac{\lambda}{2}$的区域会抵消
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这样我们有以下结论
$$ 亮:asin\theta = m\lambda \\\ \\ 暗:asin\theta =(m+\frac{1}{2})\lambda $$