波运动的特点

波的类型

横波

定义

振动方向与运动方向垂直的波

横波的移动速度

1. 决定因素

• 介质

2. 在细绳上横波的速度

• 图示

• 推导

$$ SHM \Longrightarrow F \propto x \\\ \\ \therefore \frac{F_y}{F_T} = \frac{v’t}{vt} = \frac{v’}{v} \\\ \\ F_y t = \Delta p = \Delta m\cdot v \\\ \\ F_T t \cdot \frac{v’}{v} = F_y t = (\mu vt)v’ \\\ \\ \therefore \pmb{v = \sqrt{\frac{F_T}{\mu}}} $$

纵波

定义

振动方向与运动方向相同的波

纵波的特点

1. 在纵波中，压缩和扩张对应着横波中的波峰和波谷

2. 常见的纵波

• 声波

纵波速度

$$ v = \sqrt{\frac{elastic \ force \ factor}{inertia \ factor}} \\\ \\ 在长绳中， v= \sqrt{\frac{E}{\rho}},弹性系数 \\\ \\ 在流体中，v = \sqrt{\frac{B}{\rho}},体积系数 $$

其他的波

表面波

1. 定义

在两种物质的交界处的波

2. 实例

• 水面波

• 地震的表面波

波的能量 波的运动方程

运动方程

$$ y(x,t) = Acos(\omega t \pm \frac{\omega}{v}x + \varphi) \\\ \\ \omega = \frac{2\pi}{T} \\\ \\ Wave \ number \ k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\omega}{v} \\\ \\ 表示\pmb{相位随距离的变化率}或\pmb{2\pi 长度内的全波数目} \\\ $$

波的能量与强度

1. 波的运动是能量的传播

$$ 对于 SHM \\\ \\ dm = \rho S dx \\\ \\ dE = \frac{1}{2} dm \omega^2 A^2 \\\ \\ \therefore dE = \frac{1}{2}\rho S dx \omega^2A^2 \\\ \\ \overline{P} = \frac{dE}{dt} = \frac{1}{2} \rho S v \omega^2 A^2 \\\ \\ I = \frac{\overline{P}}{S} = \frac{1}{2}\rho v\omega^2 A^2 $$

叠加原理 反射和传播

干涉

光电干涉结果

1. 幅度与光强

$$ 幅度: A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 +2A_1A_2cos\Delta \varphi} \\\ \\ \Delta \varphi = k\Delta r = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta r \\\ \\ I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}cos{\Delta \varphi} $$

2. 亮与暗

$$ \Delta \varphi = 2m\pi \Longrightarrow \Delta r = m \lambda \Longrightarrow I_{max} \\\ \\ \Delta \varphi = (2m + 1) \pi \Longrightarrow \Delta r = (m + \frac{1}{2}) \lambda \Longrightarrow I_{min} $$

干涉的类型

双缝干涉

1. 条件

• 单色光照到两个缝上

2. 杨氏双缝干涉实验

• 图示

• 公式

$$ \Delta r = r_2 - r_1 \approx dsin\theta \\\ \\ 亮纹: dsin\theta = m \lambda \\\ \\ 暗纹：dsin\theta = (m+\frac{1}{2}) \lambda \\\ \\ 又sin\theta \approx tan\theta = \frac{x}{L} \\\ \\ \therefore 亮纹:x = \frac{L}{d} \cdot m\lambda \\\ \\ 暗纹：x = \frac{L}{d}(m+\frac{1}{2}) \lambda \\\ \\ 当\theta \rightarrow 0 时: \theta \approx sin\theta \\\ \\ \therefore \Delta \theta_{max} = \frac{\lambda}{d} $$

Thin films —— 反射与干涉

1. 条件:光从两个表面反射

光程差(OPD)

$$ \delta = n_1r_1 - n_2r_2 \\\ \\ \Delta = 2n_2 t(+\frac{\lambda}{2}) = \begin{cases} m\lambda & bright \\ (m+\frac{1}{2})\lambda & dark \end{cases} $$

驻波 共鸣

衍射与偏振

单缝衍射

1. 图示

2. 光程差

$$ \delta = \overline{BP} - \overline{AP} = \overline{BC} = asin\theta $$

3. 半波法

• 将缝以半波长等分

• 两个光程差为$\frac{\lambda}{2}$的区域会抵消

• 这样我们有以下结论

$$ 亮:asin\theta = m\lambda \\\ \\ 暗：asin\theta =(m+\frac{1}{2})\lambda $$