RL电路的固有响应
电路图
电流与时间
$$ 对于最右边的网孔列KVL方程 \\\ \\ L\frac{di}{dt}+iR = 0 \\\ \\ \pmb{i(t)=I_0e^{(-R/L)t}，t\gt 0}\\\ \\ 零时刻，电压产生突变 \\\ \\ v(0^-) = 0，v(0^+) = I_0R ，v(0)位置 $$
功率 能量
$$ p =i^2R = I_0^2Re^{(-2R/L)t} \\\ \\ W = \int_0^t p d\tau = \frac{1}{2}LI_0^2(1-e^{-2(R/L)t}), t\ge 0 $$
时间常数
- 定义
- $\tau =L/R$
- 替换后
$$ i(t) = I_0e^{-(t/\tau)} \\\ \\ v(t)= I_0Re^{-(t/\tau)} \\\ \\ p =I_0^2 R e^{-2t/\tau} \\\ \\ W =\frac{1}{2}LI_0^2(1-e^{-2t/\tau}) $$
总结
-
先求$I_0$
-
再求$\tau = L/R$
-
最后求$i(t)$
RC电路的固有响应
电路图
电压与时间 功率 能量
$$ 引入时间常数\tau = RC \\\ \\ 推导方式同RL电路 \\\ \\ v(t)=V_0e^{-t/\tau} \\\ \\ i(t) = \frac{V_0}{R} e^{-t\tau} \\\ \\ p = \frac{V_0^2}{R} e^{-2(t/\tau)}\\\ \\ w = \frac{1}{2}CV^2(1-e^{-2(t/\tau)}) $$
RL RC电路的阶跃响应
RL 电路的阶跃响应
图示
电流与时间
$$ V_s = Ri + L\frac{di}{dt} \\\ \\ i(t) = \frac{V_s}{R} + (I_0-\frac{V_s}{R})e^{-t/\tau} \\\ \\ \Rightarrow \pmb {i(t) = \frac{V_s}{R}(1-e^{-t/\tau})} \\\ \\ i(t) \rightarrow \frac{V_s}{R} $$
电流与时间的变化率
$$ \frac{di}{dt} = \frac{V_s}{R}e^{-t/\tau}\\\ \\ \frac{di}{dt}(0) = \frac{V_S}{R} \\\ $$
其他变量
$$ v = L\frac{di}{dt} = (V_s-I_0R)e^{-t/\tau} \\\ \\ $$
RC电路的阶跃响应
电路图
公式
$$ V = V_s + (V_0 - V_s)e^{-\frac{t}{RC}} \\\ \\ i =(I_S-\frac{V_0}{R})e^{-t/\tau},t\ge 0 $$
阶跃响应与固有响应的一般解法
公式表达
$$ 对于方程\frac{dx}{dt}+\frac{x}{\tau} = K \\\ \\ 终值x_f = K\tau \\\ \\ \pmb{x(t) =x_f+[x(t_0)-x_f]e^{-(t-t_0)/\tau}} $$
步骤
- 确定电路的有关变量
- 对于RC电路，选择电容电压
- 对于RL电路，选择电感电流
- 决定初始量
- 对于电容电压或电感电流, 因为不能突变,,$x(t_0^-)=x(t_0)=x(t_0^+)$
- 对于其他量，应当注意其突变
-
计算$x_f$
-
计算$\tau$
按序换路
- 做题就行
无限响应
电路响应按照指数规律增长而不是衰减
积分放大器
图示
推导
$$ v_n = v_p =0 \\\ \\ i_n =i_f + i_ s = 0\Rightarrow i_f = -i_s \\\ \\ i_f=C_f\frac{dv_0}{dt} \\\ \\ \frac{dv_0}{dt}=\frac{1}{C_f}(-i_s)= -\frac{1}{R_sC_f}v_S \\\ \\ v_0(t) = -\frac{1}{R_sC_f} \int_{t_0}^t v_s d\tau + v_0(t_0) $$